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Pythagore et Thalès

Les deux théorèmes les plus utilisés au DNB. Pythagore travaille dans un triangle rectangle, Thalès quand on a deux droites parallèles qui coupent deux sécantes. Bien identifier la configuration, c'est déjà avoir résolu la moitié de l'exercice.

Concept central

Quel théorème pour quelle situation ?

Théorème de Pythagore

Énoncé

Astuce : L'hypoténuse² = somme des carrés des deux autres côtés. L'hypoténuse est en face de l'angle droit.
- Si ABC est rectangle en C, alors AB² = AC² + BC²
Quand l'utiliser ?

Astuce : On a un triangle rectangle, on connaît 2 côtés, on cherche le 3e.
Calculer l'hypoténuse
- AC = 3, BC = 4 → AB² = 9 + 16 = 25 → AB = 5
Calculer un côté de l'angle droit

Astuce : Soustraction (et pas addition) quand on cherche un côté de l'angle droit.
- AB = 13, AC = 5 → BC² = AB² − AC² = 169 − 25 = 144 → BC = 12

Réciproque et contraposée de Pythagore

Réciproque

Astuce : Sert à DÉMONTRER qu'un triangle est rectangle.
- Si AB² = AC² + BC², alors ABC est rectangle en C.
Méthode pour appliquer la réciproque

Astuce : 1. Calculer AB² (le plus grand côté au carré). 2. Calculer AC² + BC². 3. Comparer. Si égal → rectangle ; si différent → pas rectangle.
Contraposée

Astuce : Sert à DÉMONTRER qu'un triangle n'est PAS rectangle.
- Si AB² ≠ AC² + BC², alors ABC n'est pas rectangle en C.

Théorème de Thalès

Configuration

Astuce : Deux droites sécantes en A, coupées par deux droites parallèles (BC) // (B'C'). Configuration en triangle ou en papillon.
Égalité des rapports

Astuce : Les longueurs des « petits » sur les « grands » sont toutes égales.
- AB/AB' = AC/AC' = BC/B'C'
Méthode pour calculer une longueur

Astuce : Produit en croix une fois les rapports posés.
- Données : AB = 4, AB' = 6, BC = 5, on cherche B'C'.
- AB / AB' = BC / B'C'
- 4 / 6 = 5 / B'C'
- B'C' = (5 × 6) / 4 = 7,5

Réciproque de Thalès

Énoncé

Astuce : Si A, B, B' sont alignés et A, C, C' sont alignés (dans le même ordre) ET AB/AB' = AC/AC', alors (BC) // (B'C').
Méthode

Astuce : 1. Vérifier l'alignement et l'ordre des points. 2. Calculer AB/AB' et AC/AC'. 3. Si égaux → parallèles. Sinon → non parallèles.
Attention à l'ordre

Astuce : Les points doivent être dans le même ordre sur les deux droites (sinon configuration papillon : on autorise mais c'est plus subtil).

Tips & tricks au DNB

Toujours faire un schéma annoté

Astuce : Note les longueurs connues directement sur le triangle. Ça évite 90 % des erreurs.
Repérer l'hypoténuse

Astuce : C'est toujours le côté en face de l'angle droit, et c'est le plus long.
Valeurs exactes vs arrondies

Astuce : On garde les √ jusqu'à la fin, on n'arrondit qu'une fois et au moment demandé.
Triplets pythagoriciens à connaître
- (3, 4, 5)
- (5, 12, 13)
- (8, 15, 17)
- (7, 24, 25)
Configuration Thalès : triangle ou papillon ?

Astuce : Triangle : A à l'extérieur, BC et B'C' du même côté. Papillon : les parallèles sont de part et d'autre de A.