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Calcul littéral, équations et identités remarquables

C'est le cœur du DNB : presque chaque sujet contient un calcul littéral, une identité remarquable ou une équation à résoudre. L'objectif : reconnaître la situation, choisir la bonne technique, et appliquer les bons réflexes.

Concept central

Comment manipuler une expression algébrique ?

Développer

Distributivité simple

Astuce : On distribue le facteur devant à chaque terme entre parenthèses.
- k(a + b) = ka + kb
- 3(x + 5) = 3x + 15
Double distributivité

Astuce : Chaque terme du premier facteur multiplie chaque terme du second.
- (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
- (x + 2)(x + 3) = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6
IR développées

Astuce : Trois identités remarquables à connaître par cœur.
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a − b)² = a² − 2ab + b²
- (a + b)(a − b) = a² − b²

Factoriser

Facteur commun

Astuce : On cherche ce qui se répète dans tous les termes (un nombre, une variable, ou même une parenthèse).
- ka + kb = k(a + b)
- 6x + 9 = 3(2x + 3)
- x(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x + 3)
IR factorisées

Astuce : Lire l'IR « à l'envers » : si on voit deux carrés et un double produit, on peut factoriser.
- a² + 2ab + b² = (a + b)²
- a² − 2ab + b² = (a − b)²
- a² − b² = (a − b)(a + b)
Astuce du facteur caché

Astuce : Quand deux parenthèses semblent différentes, vérifie si l'une est l'opposée de l'autre.
- (x − 3) et (3 − x) = −(x − 3)
- donc x(x − 3) + 5(3 − x) = x(x − 3) − 5(x − 3) = (x − 3)(x − 5)

Identités remarquables

Les 3 IR
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a − b)² = a² − 2ab + b²
- (a − b)(a + b) = a² − b²
Comment les reconnaître ?

Astuce : Présence de carrés (x², 9, 25...) ET d'un double produit (2 × premier × second).
Exemple guidé : (5x − 2)²
- a = 5x, b = 2
- a² = (5x)² = 25x²
- 2ab = 2 × 5x × 2 = 20x
- b² = 2² = 4
- → (5x − 2)² = 25x² − 20x + 4
Exemple guidé : 49x² − 16

Astuce : Différence de deux carrés → factorisation immédiate.
- 49x² = (7x)² et 16 = 4²
- Donc 49x² − 16 = (7x)² − 4² = (7x − 4)(7x + 4)

Résoudre une équation du 1er degré

Méthode standard

Astuce : 1. Développer si nécessaire. 2. Regrouper les x d'un côté, les nombres de l'autre. 3. Diviser par le coefficient de x.
Exemple : 3(x − 2) = 5x + 4
- 3x − 6 = 5x + 4 (développé)
- 3x − 5x = 4 + 6 (on regroupe)
- −2x = 10
- x = −5
Trick : supprimer les dénominateurs

Astuce : Multiplier par le PPCM des dénominateurs élimine les fractions d'un seul coup.
- x/3 + 2 = x/2 − 1
- On multiplie les deux membres par 6 (PPCM de 3 et 2) :
- 2x + 12 = 3x − 6
- x = 18
Trick : faire passer du x à droite quand le coef est négatif à gauche

Astuce : On évite les nombres négatifs en faisant passer les x du côté où le coef est positif.
- −2x + 5 = 3x − 10
- → 5 + 10 = 3x + 2x
- → 15 = 5x → x = 3

Équation produit

Règle d'or

Astuce : Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul. A × B = 0 ⇔ A = 0 ou B = 0.
Exemple : (x − 3)(2x + 5) = 0
- x − 3 = 0 ou 2x + 5 = 0
- x = 3 ou x = −5/2
- Solutions : S = { 3 ; −5/2 }
Stratégie : factoriser d'abord

Astuce : Si on voit une équation pas du 1er degré, on essaie de la factoriser pour se ramener à un produit nul.
- x² − 9 = 0
- (x − 3)(x + 3) = 0 (IR)
- x = 3 ou x = −3
Cas x² = a (avec a ≥ 0)

Astuce : Toujours deux solutions opposées (sauf si a = 0).
- x² = 16 → x = 4 ou x = −4
- x² = 5 → x = √5 ou x = −√5

Tips & tricks au DNB

Avant de résoudre

Astuce : Toujours simplifier au maximum : factoriser, supprimer les dénos, regrouper.
Repérer une IR cachée

Astuce : Si tu vois deux carrés (avec une variable au carré) et un double produit, c'est probablement une IR.
Vérifier ta solution

Astuce : Remplace la valeur trouvée dans l'équation initiale : les deux membres doivent être égaux.
Calcul mental utile
- 11² = 121
- 12² = 144
- 13² = 169
- 14² = 196
- 15² = 225
- 25² = 625
Ne pas confondre

Astuce : (a + b)² ≠ a² + b² (l'erreur la plus pénalisée du DNB). Il manque le double produit 2ab.